衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!

日期:2019-09-13 22:58:38   来源:互联网   编辑:小狐   阅读人数:321

一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.集合A={xlnx≥0},B={xx2<16},则A∩B=( )

A.1,4B.1,4

C.【1,+∞)D.【e,4)

2.设a=log0.80.9,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a,b,c的大小关系是C( )

A.a<b<c B.a<c<b

C.b<a<c D.c<a<b

3.已知a>1,则f(x)1成立的一个充分不必要条件是( )

4.已知函数

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图1)

则fff﹣1的值等于

7.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图2)

C.f(x)=﹣x3 D.f(x)=+x3w

8.设f(x)是奇函数,对任意的实数x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y)当x>0时,f(x)0,则f(x)在区间【a,b】上( )

A.有最大值f(a)

B.有最小值f(a)

C.有最大值

D.有最小值

9.已知函教fx=Asinωx+φA>0,ω>0的图象与直线y=b0<b<A的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则fx的单调递增区间是

A.【6kπ,6kπ+3】k∈Z

C.【6k,6k+3】k∈Z

D.【6kπ﹣3,6kπ】k∈ZP

10.若不等式lg≥(x﹣1)lg3对任意x∈(﹣∞,1)恒成立,则a的取值范围是( )

A.(﹣∞,0】B.【1,+∞)

C.【0,+∞)D.(﹣∞,1】a

11.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f′(x)若f(x)+f′(x)1,f(0)=2015,则不等式exf(x)ex+2014(其中e为自然对数的底数)的解集为( )

A.B.(﹣∞,0)∪

C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)D.(0,+∞)

12.设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2<m2,则m的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)

B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)Y

二、填空题(每题分,满分分,将答案填在答题纸上)

13.若非零向量,满足+=﹣=2,则向量与+的夹角为.

14.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数,则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”若给定函数f(x)=x2﹣2x﹣1,p=2,则下列结论不成立的是:.K

①fp【f(0)=f【fp(0)。

②fp【f(1)=f【fp(1)。

③fp【fp(2)=f【f(2)。

④fp【fp(3)=f【f(3).

15.已知fx是定义在R上且周期为3的函数,当x∈0,3时,fx=x2﹣2x+,若函数y=fx﹣a在区间﹣3,4上有10个零点互不相同则实数a的取值范围是.

16.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且2+bsinA﹣sinB=c﹣bsinC,则△ABC面积的最大值为.x

三、解答题本大题共小题,共.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a∈R,命题p:“∀x∈【1,2】x2﹣a≥0”命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.

1若命题p为真命题,求实数a的取值范围。

2若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.=

18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC+sin(B﹣A)=sin2A,A≠.

Ⅰ求角A的取值范围。

Ⅱ若a=1,△ABC的面积S=,C为钝角,求角A的大小.

19.已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数).

Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积。

Ⅱ若fx≥x2在0,1上恒成立,求实数a的取值范围.

20.已知函数f(x)满足2f(x+2)﹣f(x)=0,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx+ax,当x∈(﹣4,﹣2)时,f(x)的最大值为﹣4.

Ⅰ求实数a的值。

Ⅱ设b≠0,函数,x∈1,2.若对任意的x1∈1,2总存在x2∈1,2使fx1﹣gx2=0,求实数b的取值范围.

21.已知函数fx=x3++ax+b,gx=x3++lnx+b,a,b为常数.

Ⅰ若gx在x=1处的切线过点0,﹣5求b的值。

Ⅱ设函数fx的导函数为f′x若关于x的方程fx﹣x=xf′x有唯一解,求实数b的取值范围。

Ⅲ令Fx=fx﹣gx若函数Fx存在极值,且所有极值之和大于5+ln2,求实数a的取值范围.

22.已知函数。

Ⅰ求函数fx的单调区间,并判断是否有极值。

Ⅱ若对任意的x>1,恒有lnx﹣1+k+1≤kx成立,求k的取值范围。

Ⅲ)证明:n∈N+,n≥2).

届衡水中学高三上学期第一次卷理(含解析)

一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.集合A={xlnx≥0},B={xx2<16},则A∩B=( )

A.1,4B.1,4

C.【1,+∞)D.【e,4)

考点交集及其运算.

分析求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集即可.

解答】解:由A中lnx≥0=ln1,得到x≥1,即A=【1,+∞

由B中的不等式解得:﹣4<x<4,即B=(﹣4,4)

则A∩B=1,4.

故选B.

2.设a=log0.80.9,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a,b,c的大小关系是C( )

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

考点对数值大小的比较.

分析利用指数与对数函数的单调性即可得出.

解答解:∵0<a=log0.80.9<1,b=log1.10.9<0,c=1.10.9>1。

∴b<a<c.故选:C.

3.已知a>1,则f(x)1成立的一个充分不必要条件是( )

考点必要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数的单调性与特殊点.

分析求出不等式的解集即不等式成立的充要条件;据当集合A⊆集合B且B⊊A时,A是B的充分不必要条件.

解答解:f(x)1成立的充要条件是

故选项为B

4.已知函数

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图3)

则fff﹣1的值等于

考点函数的值.

分析根据分段函数的定义域,求出f(﹣1)的值,再根据分段函数的定义域进行代入求解。

解答解:函数

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图4)

f(﹣1)=π2+1>0。

∴ff﹣1=0。

可得f(0)=π。

∴fff﹣1=π。

故选C。

分析根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤上的积分可求出答案.

解答解:面积等于cosx的绝对值在0≤x≤上的积分。

即S==3=3=3。

故选:D.

6.函数y=sin(2x﹣)的图象与函数y=cos(x﹣)的图象( )

A.有相同的对称轴但无相同的对称中心

B.有相同的对称中心但无相同的对称轴

C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心

D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴

考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

分析分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解.

解答解:由2x﹣=k,k∈Z,可解得函数y=sin(2x﹣)的对称轴为:x=+,k∈Z.

由x﹣=kπ,k∈Z,可解得函数y=cos(x﹣)的对称轴为:x=kπ,k∈Z.

k=0时,二者有相同的对称轴.

由2x﹣=kπ,k∈Z,可解得函数y=sin2x﹣的对称中心为:,0k∈Z.

由x﹣=k,k∈Z,可解得函数y=cosx﹣的对称中心为:kπ+,0k∈Z.

故2函数没有相同的对称中心.

故选:A.

7.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图5)

分析本题是选择题,可采用排除法,根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B,D,即可得到所求

解答解:由图象可知,函数的定义域为x≠a,a>0,故排除C。

当x→+∞时,y→0,故排除B,当x→﹣∞时,y→+∞,故排除B。

当x=1时,对于选项A.f(1)=0,对于选项D,f(1)=﹣2,故排除D.

故选:A.

8.设f(x)是奇函数,对任意的实数x、y,有f(x+y)=f(x)+f(y)当x>0时,f(x)0,则f(x)在区间【a,b】上( )

A.有最大值f(a)

B.有最小值f(a)

C.有最大值

D.有最小值

考点函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义.

分析利用函数单调性的定义,先设x1<x2得x2﹣x1>0,结合题意得f(x2﹣x1)0,再结合(x+y)=f(x)+f(y)得f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)0,最后利用函数为奇函数得到f(x2)﹣f(x1)0,得到函数为R上的减函数.由此不难得到正确选项.

解答解:任取x1<x2,x2﹣x1>0。

∵当x>0时,f(x)0。

即f(x2)+f(﹣x1)0。

∵f(x)是奇函数。

∴f(x2)f(x1)

∴f(x)在R上递减.

∴f(x)在区间【a,b】上有最大值f(a)最小值f(b)

故选A

9.已知函教fx=Asinωx+φA>0,ω>0的图象与直线y=b0<b<A的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则fx的单调递增区间是

A.【6kπ,6kπ+3】k∈Z

B.【6k﹣3,6k】k∈Z

C.【6k,6k+3】k∈Z

D.【6kπ﹣3,6kπ】k∈Z

考点函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

分析先根据交点横坐标求出最小正周期,进而可得w的值,再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值,最后根据正弦函数的性质可得到答案.

∴T=6=∴w=,且当x=3时函数取得最大值

∴×3+φ=∴φ=﹣

∴f(x)=Asin(πx﹣)

∴﹣πx﹣≤

故选C.

10.若不等式lg≥(x﹣1)lg3对任意x∈(﹣∞,1)恒成立,则a的取值范围是( )

A.(﹣∞,0】B.【1,+∞)

C.【0,+∞)D.(﹣∞,1】

考点函数恒成立问题.

分析不等式lg≥(x﹣1)lg3可整理为,为求函数y=在(﹣∞,1)上的最小值即可,利用单调性可求最值.

解答解:不等式lg≥(x﹣1)lg3。

即不等式lg≥lg3x﹣1。

∴,整理可得。

∵y=在(﹣∞,1)上单调递减。

∴x∈(﹣∞,1)y=>=1。

∴要使圆不等式恒成立,只需a≤1,即a的取值范围是﹣∞,1.

故选D.

11.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f′(x)若f(x)+f′(x)1,f(0)=2015,则不等式exf(x)ex+2014(其中e为自然对数的底数)的解集为( )

A.B.(﹣∞,0)∪

C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)D.(0,+∞)

考点函数单调性的性质.

分析构造函数gx=exfx﹣ex,x∈R研究gx的单调性,结合原函数的性质和函数值即可求解.

解答解:设gx=exfx﹣ex,x∈R

则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex【f(x)+f′(x)﹣1】

∵f(x)+f′(x)1。

∴f(x)+f′(x)﹣1>0。

∴g′(x)0。

∴y=g(x)在定义域上单调递增。

∵exf(x)ex+2014。

∴g(x)2014。

又∵g(0)=e0f(0)﹣e0=2015﹣1=2014。

∴g(x)g(0)

故选D.

12.设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+f(x0)2<m2,则m的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)

B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

考点正弦函数的定义域和值域.

分析由题意可得,f(x0)=±,且=kπ+,k∈z,再由题意可得当m2最小时,x0最小,而x0最小为m,可得m2>m2+3,由此求得m的取值范围.

解答由题意可得,f(x0)=±,且=kπ+,k∈z,即x0=m.

再由x02+f(x0)2<m2,可得当m2最小时,x0最小,而x0最小为m。

∴m2>m2+3,∴m2>4.

求得m>2,或m<﹣2。

故选C.

二、填空题(每题分,满分分,将答案填在答题纸上)

13.若非零向量,满足+=﹣=2,则向量与+的夹角为30°.

考点平面向量数量积的运算.

分析将已知等式平方展开得到=0,令,=,则由=0,可得四边形OACB为矩形,∠BOC为向量与+的夹角,数形结合求得cos∠BOC的值,可得∠BOC的值,即为所求

解答解:因为非零向量,满足+2=﹣2=42,化简得=0。

令,=,则由=0,可得四边形OACB为矩形,∠BOC为向量与+的夹角.

令OA=1,则OC=2,直角三角形OBC中,cos∠BOC==。

∴∠BOC=30°。

故答案为30°.

14.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数,则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”若给定函数f(x)=x2﹣2x﹣1,p=2,则下列结论不成立的是:②.

①fp【f(0)=f【fp(0);②fp【f(1)=f【fp(1)。

③fp【fp(2)=f【f(2);④fp【fp(3)=f【f(3).

考点函数解析式的求解及常用方法.

分析本题属创新类型的函数定义题.此题的关键在于理解函数fp(x)的定义,则根据给定定义写成f(x)=x2﹣2x﹣1,p=2的分段函数形式即fp(x)=.

解答解:根据题意写成f(x)=x2﹣2x﹣1,p=2的分段函数形式即f2(x)=.

①:fpf(0)=f2(﹣1)=2,ffp(0)=ff2(0)=f(﹣1)=2,故①成立。

②:fpf(1)=f2(﹣2)=2,ffp(1)=ff2(1)=f(﹣2)=7,故②不成立。

③:fpfp(2)=f2f2(2)=2,ff(2)=2,故③成立。

④:fpfp(3)=f2f2(3)=﹣1,ff(3)=﹣1,故④成立。

所以只有②结论不正确,故本题答案为:②

15.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈0,3)时,f(x)=x2﹣2x+,若函数y=f(x)﹣a在区间﹣3,4上有10个零点(互不相同)则实数a的取值范围是(0, .

考点根的存在性及根的个数判断.

分析在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.

解答】fx是定义在R上且周期为3的函数,当x∈【0,3时,fx=x2﹣2x+,若函数y=fx﹣a在区间【﹣3,4】上有10个零点互不相同在同一坐标系中画出函数fx与y=a的图象如图:由图象可知.

故答案为:0,.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图6)

16.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且2+bsinA﹣sinB=c﹣bsinC,则△ABC面积的最大值为.

考点余弦定理;正弦定理.

分析由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.

解答因为:2+b)sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC

⇒2+ba﹣b=c﹣bc

⇒2a﹣b2=c2﹣bc。

又因为:a=2。

所以:

△ABC面积。

而b2+c2﹣a2=bc

所以:即△ABC面积的最大值为.

故答案为.

三、解答题本大题共小题,共.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知a∈R,命题p:“∀x∈【1,2】x2﹣a≥0”命题q:“∃x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.

1若命题p为真命题,求实数a的取值范围。

2若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.

考点复合命题的真假;命题的真假判断与应用.

分析1由于命题p:“∀x∈1,2x2﹣a≥0”令fx=x2﹣a,只要x∈1,2时,fxmin≥0即可。

2由1可知,当命题p为真命题时,a≤1,命题q为真命题时,△=4a2﹣42﹣a≥0,解得a的取值范围.由于命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,可知:命题p与命题q必然一真一假,解出即可.

解答1∵命题p:“∀x∈1,2x2﹣a≥0”令fx=x2﹣a。

根据题意,只要x∈【1,2】时,f(x)min≥0即可。

也就是1﹣a≥0,解得a≤1。

∴实数a的取值范围是﹣∞,1

2由1可知,当命题p为真命题时,a≤1。

命题q为真命题时,△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2或a≥1.

∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题。

∴命题p与命题q必然一真一假。

当命题p为真,命题q为假时。

当命题p为假,命题q为真时。

综上:a>1或﹣2<a<1.

18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC+sin(B﹣A)=sin2A,A≠.

Ⅰ求角A的取值范围。

Ⅱ若a=1,△ABC的面积S=,C为钝角,求角A的大小.

考点余弦定理;两角和与差的正弦函数.

分析Ⅰ化简已知等式可得:2sinBcosA=2sinAcosA,由cosA≠0,根据正弦定理,得b=,又0<sinB≤1,可得0<sinA从而得解.

Ⅱ由Ⅰ及a=1得b,又S=,结合C为钝角,可求C,由余弦定理可求得c的值,由正弦定理可求sinA=,从而得解.

解答Ⅰ由sinC+sinB﹣A=sin2A,得sinB+A+sinB﹣A=2sinAcosA。

即:2sinBcosA=2sinAcosA,因为cosA≠0,sinB=sinA.

由正弦定理,得b=,故A必为锐角.

又0<sinB≤1,0<sinA.

因此角A的取值范围为0。

Ⅱ由Ⅰ及a=1得b=.又因为S=,所以.

从而sinC=.因为C为钝角,故C=.

由余弦定理,得c2=1+2﹣2×=1+2﹣2×=2+.

故有c=.

由正弦定理,得sinA==

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图7)

=.

因此A=.

19.已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数).

Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积。

Ⅱ若fx≥x2在0,1上恒成立,求实数a的取值范围.

考点利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.

分析I)当a=1时,f(x)=ex+x﹣1,根据导数的几何意义可求得在点(1,f(1)处的切线的斜率,再由点斜式即可得切线方程,分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B,利用直角三角形的面积公式即可求得。

II将fx≥x2在0,1上恒成立利用参变量分离法为在0,1上恒成立,再利用导数研究不等式右边的函数的单调性,从而求出函数的最大值,即可求出a的取值范围.

解答解:I当a=1时,fx=ex+x﹣1,f1=e,f“x=ex+1,f”1=e+1。

函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y﹣e=(e+1)x﹣1)即y=(e+1)x﹣1。

设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B。

∴A,B(0,﹣1)

∴。

∴过点1,f1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.

II由fx≥x2得。

令h(x)=。

令kx=x+1﹣ex…kx=1﹣ex。

∵x∈0,1∴kx0。

∴k(x)在(0,1)上是减函数,∴k(x)k(0)=0.

因为x﹣1<0,x2>0,所以。

∴h(x)在(0,1)上是增函数.

所以h(x)h(1)=2﹣e,所以a≥2﹣e

20.已知函数f(x)满足2f(x+2)﹣f(x)=0,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx+ax,当x∈(﹣4,﹣2)时,f(x)的最大值为﹣4.

Ⅰ求实数a的值。

Ⅱ设b≠0,函数,x∈1,2.若对任意的x1∈1,2总存在x2∈1,2使fx1﹣gx2=0,求实数b的取值范围.

考点导数在最大值、最小值问题中的应用;函数最值的应用.

分析I先求出函数在﹣4,﹣2上的解析式,利用函数的导数求出函数的最大值用a表示令其等于﹣4,从而求出a。

II由任意的x1∈1,2总存在x2∈1,2使fx1﹣gx2=0,函数fx的值域是函数gx值域的子集,即为求两个函数的值域,用函数的导数法即可解决.

解答解:I由已知,得2fx+2=fx

∴f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)

∵x∈(0,2)时,f(x)=lnx+ax。

设x∈(﹣4,﹣2)则x+4∈(0,2)

∴f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4)

∴x∈(﹣4,﹣2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4)

所以。

∵x∈(﹣4,﹣2)

∴﹣4ax<4+16a。

∵。

∴.

又由,可得。

∴f(x)在上是增函数,在上是减函数。

∴.

II设fx的值域为A,gx的值域为B。

则由已知,对于任意的x1∈(1,2)总存在x2∈(1,2)使f(x1)﹣g(x2)=0得,A⊆B.

由(I)a=﹣1,当x∈(1,2)时,f(x)=lnx﹣x。

∵x∈(1,2)

∴f′(x)0,f(x)在x∈(1,2)上单调递减函数。

∴f(x)的值域为A=(ln2﹣2,﹣1)

∵gx)=bx2﹣b=b(x﹣1)x+1)

∴(1)当b<0时,g(x)在(1,2)上是减函数。

此时,g(x)的值域为。

为满足A⊆B,又.

∴.即.

2当b>0时,gx在1,2上是单调递增函数。

此时,g(x)的值域为,为满足A⊆B。

又,∴。

∴。

综上可知b的取值范围是

21.已知函数fx=x3++ax+b,gx=x3++lnx+b,a,b为常数.

Ⅰ若gx在x=1处的切线过点0,﹣5求b的值。

Ⅱ设函数fx的导函数为f′x若关于x的方程fx﹣x=xf′x有唯一解,求实数b的取值范围。

Ⅲ令Fx=fx﹣gx若函数Fx存在极值,且所有极值之和大于5+ln2,求实数a的取值范围.

考点利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

分析Ⅰ求函数的导数,利用导数的几何意义即可求b的值。

Ⅱ求出方程fx﹣x=xf′x的表达式,利用参数分离法构造函数,利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围。

Ⅲ求函数的导数,利用导数和极值之间的关系进行求解即可。

解答解:Ⅰ设gx在x=1处的切线方程为y=kx﹣5。

因为。

所以k=11,故切线方程为y=11x﹣5.

当x=1时,y=6,将(1,6)代入。

得.…

Ⅱ)fx)=3x2+5x+a。

由题意得方程有唯一解。

即方程有唯一解.

令,则hx)=6x2+5x+1=(2x+1)3x+1)

所以h(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数.

又。

故实数b的取值范围是.…

ⅢFx=ax﹣x2﹣lnx。

所以.

因为F(x)存在极值,所以在(0,+∞)上有根。

即方程2x2﹣ax+1=0在(0,+∞)上有根,则有△=a2﹣8≥0.

显然当△=0时,F(x)无极值,不合题意。

所以方程必有两个不等正根.

记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1,x2,则

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图8)

=>

解得a2>16,满足△>0.

又,即a>0。

故所求a的取值范围是(4,+∞).

22.已知函数。

Ⅰ求函数fx的单调区间,并判断是否有极值。

Ⅱ若对任意的x>1,恒有lnx﹣1+k+1≤kx成立,求k的取值范围。

Ⅲ)证明:n∈N+,n≥2).

考点利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;数列的求和.

分析Ⅰx>0,分别解出f“x0,f”x0,即可得出单调区间、极值。

II方法1:由lnx﹣1+k+1≤kx,分离参数可得:k≥fx﹣1max对任意的x>1恒成立,由I即可得出.

方法2:记g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1,对k分类讨论研究其单调性即可得出。

Ⅲ)由(Ⅰ)知:当且仅当x=1取等号).令x=n2(n∈N*,n≥2)即,再利用“累加求和”“裂项求和”即可得出.

解答Ⅰ解:x>0。

即x∈(0,1)f“x)0,当x∈(1,+∞)f”x)0。

∴f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减。

在x=1处取得极大值,极大值为f(1)=1,无极小值.

Ⅱ解:方法1:∵lnx﹣1+k+1≤kx。

k≥f(x﹣1)max对任意的x>1恒成立,由(1)知f(x)max=f(1)=1。

则有f(x﹣1)max=1,∴k≥1.

方法2:记g(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1。

当k≤0时,gx≥0。

当k>0时,由gx0得。

即当k≤0时,g(x)在(1,+∞)上为增函数。

当k>0时,上为增函数;在上为减函数.

∵对任意的x>1,恒有ln(x﹣1)+k+1≤kx成立。

即要求g(x)≤0恒成立。

∴k>0符合,且,得k≥1.

Ⅲ证明:由Ⅰ知。

则(当且仅当x=1取等号).

令x=n2(n∈N*,n≥2)即,则有

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图9)

∴。

∴.

一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={﹣2,0,2},B={xx2﹣x﹣2=0},则A∩B=( )

A.∅B.{2}

C.{0}D.{﹣2}

2.复数=( )

A.i B.1+i

C.﹣i D.1﹣i

3.下列函数为奇函数的是( )

A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x

4.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>y”的( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.设a=40.1,b=log40.1,c=0.40.2则( )

A.a>b>c B.b>a>c

C.a>c>b D.b>c>a

6.若变量x,y满足

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图10)

则x2+y2的最大值是( )

7.已知函数f(x)=cos(x+)sinx,则函数f(x)的图象( )

A.最小正周期为T=2πB.关于点(﹣)对称

C.在区间0,上为减函数D.关于直线x=对称

8.已知<α<π,3sin2α=2cosα,则cos(α﹣π)等于( )

A.B.C.D.

9.设函数fx=,若ff=4,则b=

A.1 B.C.D.

10.若执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图11)

11.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图12)

A.B.C.D.

12.设,为非零向量,=2,两组向量,,和,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为42,则与的夹角为( )

二、填空题(每题分,满分分,将答案填在答题纸上)

13.已知函数f(x)=2015sinx+x2015+2015tanx+2015,且f(﹣2015)=2016,则f(2015)=.

14.已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点2,7则a=1.

15.不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为.

16.已知△ABC的三边a,b,c满足+=,则角B=.

三、解答题本大题共小题,共.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.

Ⅰ写出fx的最小正周期及图中x0,y0的值。

Ⅱ求fx在区间【﹣,﹣】上的最大值和最小值.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图13)

18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.

1求B。

2已知cosA=,求sinC的值.

19.已知函数f(x)=lnx﹣,其中a为常数,且a>0.

1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=x+1垂直,求函数f(x)的单调递减区间。

2若函数fx在区间【1,3】上的最小值为,求a的值.

20.如图所示,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

1设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值。

2求P到海防警戒线AC的距离结果精确到0.01千米.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图14)

21.已知函数f(x)=x﹣﹣(a+1)lnx(a∈R).

Ⅰ当0<a≤1时,求函数fx的单调区间。

Ⅱ是否存在实数a,使fx≤x恒成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

选修坐标系与参数方程

22.已知直线l的参数方程为,t为参数以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0.

Ⅰ把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程。

Ⅱ将直线l向右平移h个单位,所对直线l′与圆C相切,求h.

选修不等式选讲

23.已知函数f(x)=2x﹣a+a,a∈R,g(x)=2x﹣1.

Ⅰ若当gx≤5时,恒有fx≤6,求a的最大值。

Ⅱ若当x∈R时,恒有fx+gx≥3,求a的取值范围.

届衡水中学高三上学期

第一次含解析

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共个小题,每小题分,共.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={﹣2,0,2},B={xx2﹣x﹣2=0},则A∩B=( )

A.∅B.{2}C.{0}D.{﹣2}

考点交集及其运算.

分析先解出集合B,再求两集合的交集即可得出正确选项.

解答解:∵A={﹣2,0,2},B={xx2﹣x﹣2=0}={﹣1,2}。

∴A∩B={2}.

故选B

2.复数=( )

A.iB.1+iC.﹣iD.1﹣i

考点复数代数形式的乘除运算.

分析将分子分线同乘2+i,整理可得答案.

解答解:===i。

故选:A

3.下列函数为奇函数的是( )

A.2x﹣ B.x3sinx C.2cosx+1 D.x2+2x

考点函数奇偶性的判断.

分析根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.

解答解:对于函数f(x)=2x﹣,由于f(﹣x)=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f(x)故此函数为奇函数.

对于函数f(x)=x3sinx,由于f(﹣x)=﹣x3(﹣sinx)=x3sinx=f(x)故此函数为偶函数.

对于函数f(x)=2cosx+1,由于f(﹣x)=2cos(﹣x)+1=2cosx+1=f(x)故此函数为偶函数.

对于函数f(x)=x2+2x,由于f(﹣x)=(﹣x)2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f(x)且f(﹣x)≠f(x)

故此函数为非奇非偶函数.

故选:A.

4.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>y”的( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.

分析直接根据必要性和充分判断即可.

解答解:设x>0,y∈R,当x=0,y=﹣1时,满足x>y但不满足x>y,故由x>0,y∈R,则“x>y”推不出“x>y”

而“x>y”⇒“x>y”

故“x>y”是“x>y”的必要不充分条件。

故选:C.

5.设a=40.1,b=log40.1,c=0.40.2则( )

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a

考点对数值大小的比较.

分析判断三个数的范围,即可判断三个数的大小.

解答解:a=40.1>1;b=log40.1<0;c=0.40.2∈(0,1).

∴a>c>b.

故选:C.

6.若变量x,y满足

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图15)

则x2+y2的最大值是( )

考点简单线性规划.

分析由约束条件作出可行域,结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图16)

∵A(0,﹣3)C(0,2)

∴OA>OC。

联立,解得B(3,﹣1).

∵。

∴x2+y2的最大值是10.

故选:C.

7.已知函数f(x)=cos(x+)sinx,则函数f(x)的图象( )

A.最小正周期为T=2πB.关于点(﹣)对称

C.在区间0,上为减函数D.关于直线x=对称

考点三角函数的周期性及其求法.

分析利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性,得出结论

解答解:∵函数f(x)=cos(x+)sinx=(cosx﹣sinx)•sinx=sin2x﹣•

=(sin2x+cos2x)﹣=sin(2x+)+。

故它的最小正周期为=π,故A不正确。

令x=,求得f(x)=+=,为函数f(x)的最大值,故函数f(x)的图象关于直线x=对称。

且f(x)的图象不关于点对称,故B不正确、D正确。

在区间0,上,2x+∈fx=sin2x++为增函数,故C不正确。

故选:D.

8.已知<α<π,3sin2α=2cosα,则cos(α﹣)等于( )

A.B.

C.D.

考点二倍角的正弦.

分析由条件求得sinα和cosα的值,再根据cos(α﹣π)=﹣cosα求得结果.

解答解:∵<α<π,3sin2α=2cosα。

∴sinα=,cosα=﹣.

∴cos(α﹣π)=﹣cosα=﹣(﹣)=。

故选:C.

9.设函数fx=,若ff=4,则b=

A.1 B.

C.D.

考点函数的值;分段函数的应用.

分析直接利用分段函数以及函数的零点,求解即可.

解答解:函数fx=,若ff=4。

可得f=4。

若,即b≤,可得,解得b=.

若,即b>可得,解得b=<舍去.

故选:D.

10.若执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图17)

分析模拟执行程序框图,可得程序的功能是求S=×的值,即可求得S的值.

解答解:模拟执行程序框图,可得程序的功能是求S=×的值。

由于S=×=×==3.

故选:C.

11.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( )

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图18)

A.B.C.D.

分析由三视图可知,几何体是三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得,因此求几何体的体积.

解答解:由三视图可知,几何体是底面为直角边为1的等腰直角三角形,高为1的三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得,所以体积为。

故选B.

12.设,为非零向量,=2,两组向量,,和,,均由2个和2个排列而成,若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为42,则与的夹角为( )

考点数量积表示两个向量的夹角.

分析两组向量,,和,,均由2个和2个排列而成,结合其数量积组合情况,即可得出结论.

解答解:由题意,设与的夹角为α。

分类讨论可得

①•+•+•+•=•+•+•+•=102,不满足

②•+•+•+•=•+•+•+•=52+42cosα,不满足。

③•+•+•+•=4•=82cosα=42,满足题意,此时cosα=

∴与的夹角为.故选:B.

二、填空题(每题分,满分分,将答案填在答题纸上)

13.已知函数f(x)=2015sinx+x2015+2015tanx+2015,且f(﹣2015)=2016,则f(2015)=2014.

考点函数奇偶性.

分析利用奇偶性求解即可.

解答由解析式f(x)﹣2015=2015sinx+x2015+2015tanx,可以看出函数f(x)﹣2015为奇函数,从而便有f(﹣2015)﹣2015=﹣f(2015)﹣2015 ∴f(2015)=2014。

14.已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点2,7则a=1.

考点利用导数研究曲线上某点切线方程.

分析求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可.

解答解:函数f(x)=ax3+x+1的导数为:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,而f(1)=a+2。

切线方程为:y﹣a﹣2=3a+1x﹣1因为切线方程经过2,7

所以7﹣a﹣2=3a+12﹣1

解得a=1.

故答案为1.

15.不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为e.

考点函数恒成立问题.

分析由题意可得f(x)=ex﹣kx≥0恒成立,即有f(x)min≥0,求出f(x)的导数,求得单调区间,讨论k,可得最小值,解不等式可得k的最大值.

解答解:不等式ex≥kx对任意实数x恒成立,即为

f(x)=ex﹣kx≥0恒成立。

即有f(x)min≥0。

由f(x)的导数为f′(x)=ex﹣k。

当k≤0,ex>0,可得f′(x)0恒成立,f(x)递增,无最大值。

当k>0时,x>lnk时f′(x)0,f(x)递增;x<lnk时f′(x)0,f(x)递减.

即有x=lnk处取得最小值,且为k﹣klnk。

由k﹣klnk≥0,解得k≤e。

即k的最大值为e。

故答案为:e.

16.已知△ABC的三边a,b,c满足+=,则角B=.

考点余弦定理.

分析化简所给的条件求得b2=a2+c2﹣ac,利用余弦定理求得cosB=的值,可得B的值.

解答解:△ABC的三边a,b,c满足+=。

∴+=3,∴+=1,∴cb+c+aa+b=a+bb+c

即b2=a2+c2﹣ac,∴cosB==。

∴B=。

故答案为:.

三、解答题本大题共小题,共.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.函数f(x)=3sin(2x+)的部分图象如图所示.

Ⅰ写出fx的最小正周期及图中x0,y0的值。

Ⅱ求fx在区间【﹣,﹣】上的最大值和最小值.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图19)

考点三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.

分析Ⅰ)由题目所给的解析式和图象可得所求;Ⅱ)由x∈﹣,﹣可得2x+∈﹣,0由三角函数的性质可得最值.

解答解:Ⅰ∵fx=3sin2x+

∴f(x)的最小正周期T==π。

可知y0为函数的最大值3,x0=。

Ⅱ∵x∈【﹣,﹣】

∴2x+∈【﹣,0】

∴当2x+=0,即x=时,f(x)取最大值0。

18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.

1求B。

2已知cosA=,求sinC的值.

考点解三角形.

分析1利用正弦定理将边化角即可得出cosB。

2求出sinA,利用两角和的正弦函数公式计算.

解答解:1∵asin2B=bsinA。

∴2sinAsinBcosB=sinBsinA。

∴cosB=,∴B=.

2∵cosA=,∴sinA=。

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==.

19.已知函数f(x)=lnx﹣,其中a为常数,且a>0.

1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=x+1垂直,求函数f(x)的单调递减区间。

2若函数fx在区间【1,3】上的最小值为,求a的值.

考点利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

分析1)求出导数,由直线垂直的条件得f1)=﹣1,即可得到a,再令导数小于0,解出即可,注意定义域。

2对a讨论,①当0<a≤1时,②当1<a<3时,③当a≥3时,运用导数判断单调性,求出最小值,解方程,即可得到a的值.

解答解:x>0

1)因为曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线y=x+1垂直。

所以f1=﹣1,即1﹣a=﹣1解得a=2。

当a=2时,.

令,解得0<x<2。

所以函数的递减区间为(0,2)

2)①当0<a≤1时,fx)0在(1,3)上恒成立。

这时f(x)在【1,3】上为增函数

令,得(舍去)

②当1<a<3时,由fx=0得,x=a∈1,3

由于对于x∈1,a有fx0,fx在【1,a】上为减函数。

对于x∈a,3有fx0,fx在【a,3】上为增函数。

则f(x)min=f(a)=lna。

令,得。

③当a≥3时,fx0在1,3上恒成立,这时fx在【1,3】上为减函数。

故.

令得a=4﹣3ln3<2(舍去)

综上,.

20.如图所示,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

1设A到P的距离为x千米,用x表示B,C到P的距离,并求x的值。

2求P到海防警戒线AC的距离结果精确到0.01千米.

衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文/理, 含解析), 想拿高分速戳!(图20)

考点解三角形的实际应用.

分析1根据题意可用x分别表示PA,PC,PB,再利用cos∠PAB求得AB,同理求得AC,进而根据cos∠PAB=cos∠PAC,得到关于x的关系式,求得x.

2作PD⊥AC于D,根据cos∠PAD,求得sin∠PAD,进而求得PD.

解答解:1依题意,有PA=PC=x,PB=x﹣1.5×8=x﹣12.

在△PAB中,AB=20=

同理,在△PAB中,AC=50=

∵cos∠PAB=cos∠PAC。

∴解之,得x=31.

2作PD⊥AC于D,在△ADP中。

由得

∴千米

答:静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米.

21.已知函数f(x)=x﹣﹣(a+1)lnx(a∈R).

Ⅰ当0<a≤1时,求函数fx的单调区间。

Ⅱ是否存在实数a,使fx≤x恒成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

考点利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

分析Ⅰ确定函数fx的定义域,求导函数,分类讨论,利用导数的正负确定取得函数的单调区间。

Ⅱfx≤x恒成立可为a+a+1xlnx≥0恒成立,构造函数φx=a+a+1xlnx,则只需φx≥0在x∈0,+∞恒成立即可,求导函数,分类讨论,即可求出实数a的取值范围.

解答解:Ⅰ函数fx的定义域为0,+∞…

故函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞)单调减区间为(a,1)

2当a=1时,f′x≥0,fx的单调增区间为0,+∞

Ⅱfx≤x恒成立可为a+a+1xlnx≥0恒成立。

令φ(x)=a+(a+1)xlnx,则只需φ(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立即可。

求导函数可得:φ′x=a+11+lnx

∴φ(x)的最小值为,由得。

故当时f(x)≤x恒成立。

当a+1=0时,φ(x)=﹣1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立。

当a+1<0时,取x=1,有φ(1)=a<﹣1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立。

综上所述当时,使f(x)≤x恒成立.…

选修坐标系与参数方程

22.已知直线l的参数方程为,t为参数以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0.

Ⅰ把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程。

Ⅱ将直线l向右平移h个单位,所对直线l′与圆C相切,求h.

考点简单曲线的极坐标方程.

分析Ⅰ根据ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入到圆的极坐标方程即可.

Ⅱ)设平移过的直线l的参数方程为:t为参数)将其代入到圆的方程,根据相切的位置关系,即△=0,解出h.

解答解:Ⅰ因为ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,所以圆C的直角坐标方程为

x2+y2﹣4y+2=0.

Ⅱ平移直线l后,所得直线l′的t为参数.

代入圆的方程,整理得。

2t2+2(h﹣12)t+(h﹣10)2+2=0.

因为l′与圆C相切,所以

△=4h﹣122﹣8【h﹣102+2】=0,即h2﹣16h+60=0。

解得h=6或h=10.

选修不等式选讲

23.已知函数f(x)=2x﹣a+a,a∈R,g(x)=2x﹣1.

Ⅰ若当gx≤5时,恒有fx≤6,求a的最大值。

Ⅱ若当x∈R时,恒有fx+gx≥3,求a的取值范围.

考点绝对值不等式的解法.

分析Ⅰ由gx≤5求得﹣2≤x≤3;由fx≤6可得a﹣3≤x≤3.根据题意可得,a﹣3≤﹣2,求得a≤1,得出结论.

Ⅱ根据题意可得fx+gx≥a﹣1+a,fx+gx≥3恒成立,可得a﹣1+a≥3由此求得所求的a的范围.

解答解:Ⅰ当gx≤5时,2x﹣1≤5,求得﹣5≤2x﹣1≤5,即﹣2≤x≤3.

由f(x)≤6可得2x﹣a≤6﹣a,即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a,即a﹣3≤x≤3.

根据题意可得,a﹣3≤﹣2,求得a≤1,故a的最大值为1.

Ⅱ∵当x∈R时,fx+gx=2x﹣a+2x﹣1+a≥2x﹣a﹣2x+1+a≥a﹣1+a。

f(x)+g(x)≥3恒成立,∴a﹣1+a≥3,∴a≥3,或.

求得a≥3,或2≤a<3,即所求的a的范围是2,+∞.

本文相关词条概念解析:

函数

函数(function),最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。

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