学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式

日期:2021-03-03 18:45:12   来源:互联网   编辑:小狐   阅读人数:888

时间真的是个妖怪,不知不觉又到了草长莺飞的季节。但是对于高三的同学来说,时间是越发的不够用。在这个高考冲刺复习的阶段,许多同学表示课本上的知识点分明都已经掌握,但是每次考试时总是会让分数偷偷地溜走,最后的结果总是不满意。

数学的四大思想也是拦在我们学习道路上的四座大山,只有翻过这四座大山,我们才能在得分的道路上披荆斩棘。下面小帆就来带大家认识认识数学思想的这四座大山。

一分类讨论思想

分类讨论思想贯穿整个高中知识点,在每个角落都能见到它的身影。接下来小帆就带同学们找出分类讨论思想都躲在哪里:

1利用数学概念进行的分类讨论

2利用性质、定理、公式引起的分类讨论

3将某些数学式子变形引起分类讨论

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图1)

方程中x、y的平方项系数是否为0,是否相等决定着方程表示的曲线,故需要对k值就以上情况分类讨论.处理直线与圆锥曲线的位置关系时,待定直线方程需要考虑斜率不存在这种情况,分类讨论。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图2)

含有参数的函数的综合问题(本例是函数图像)历来就是高中数学的重点和难点之一。求解此类问题的关键一点就是紧扣对称轴,依此来展开有条理性的分类讨论。

5由实际意义引起的讨论

6由参数变化引起的讨论

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图3)

这是一个含参数a的不等式,一定是二次不等式吗?不一定,故首先对二次项系数a分类:1a≠02a=0,对于2不等式易解;对于1又需再次分类:a>0或a<0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两根之外,还是在两根之间。而确定这一点之后,又会遇到1与谁大谁小的问题,因而又需作一次分类讨论。故而解题时,需要作分类。

同学们可以对照自己的日常学习,是不是只顾着复习知识点,而忽略了这些分类思想的整理呢?那我们抓住了分类讨论思想的狐狸尾巴,接下来就要想办法怎么处置它啦:

首先,明确讨论对象,确定分类讨论对象的知识板块范围。

其次,确定分类讨论的标准,进行正确分类,做到不重不漏。

再者,对分类的情况进行逐个分析。

最后,整理总结,得出结果。

二函数与方程思想

在往年的高考试卷上,涉及到函数的题目占比超过了30%而且主要是以形式多样的解答题为主,以选择填空题为辅。函数与方程思想综合知识多,题型多样,变式技巧也十分的复杂,可见是高中数学中学生必须掌握的思想。那接下来小帆就带同学们了解一下函数与方程思想:

1函数和方程是紧密相连的,对于函数y=fx当y=0时,就为方程fx0,也可以把函数式y=fx看做二元方程y-fx0。

函数问题可以为方程问题来求解,方程问题也可以为函数问题来求解,如解方程f(x)0,就是求函数y=f(x)的零点。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图4)

解法一通过简单,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;解法二为b2是a、c的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成。

2函数与不等式之间可以相互,对于函数y=fx当y>0时,就为不等式fx>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图5)

当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决。

3数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数。

4用函数的观点处理数列问题十分重要。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图6)

数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。

5函数fxn∈N*与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图7)

即把直线方程代入圆或圆锥曲线的方程,消去y,得关于x的一元二次方程,其判别式为△,则有:1曲线C与直线相离;2曲线C与直线相切;3曲线C与直线相交。

6立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

三数形结合思想

图形是数学十分重要的解工具,高中数学是以函数为主体,而图像则是函数的工具与载体。有许多的函数问题利用解析的方式寻求不到最优解,那么可以尝试与图形结合寻求解决方案,由此体现出数形结合的简洁与灵活。小帆这里给同学们整理了高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面:

2数轴及直角坐标系的广泛应用。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图8)

不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否符合题意。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图9)

通过二次函数的图象确定解题思路,直观、清晰,体现了数形结合的优越性。应特别注意,对于二次函数在闭区间上的最值问题,应抓住对称轴与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定其对称轴与区间的位置关系,结合函数图象确定在闭区间上的增减情况,再确定在何处取最值。

4数学概念及数学表达式几何意义的应用。

5解析几何、立体几何中的数形结合。

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图10)

线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的性质解决问题。

而数形结合思想解决的问题常有以下几种:

1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围。

2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围。

3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系。

4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式。

5构建立体几何模型研究代数问题。

6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题。

7构建方程模型,求根的个数。

四与化归思想

与划归思想在高考中的地位是举足轻重的,可以说是几乎每道题都会涉及到与化归思想。最常见的就是从未知向已知,从新知识向旧知识,复杂问题简单化,不同的知识点之间的,实际问题数学化等等。与化归思想是渗透到数学的整个解题过程中的。

既然与化归思想这么重要,接下来同学们可要打起十二分精神咯:

与化归的基本类型

1正与反、一般与特殊的,即正难则反,特殊化原则.

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图11)

正面难以解决的问题,可采用补集的思想,为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况,则不成立的情况一般较少,易从反而考虑,比如题目中出现“至多”“至少”等字眼时.

2常量与变量的变化,即在处理多元问题时,选取其中的变量或参数当“主元”其他的变量看作常量.

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图12)

构造变量m的函数,对x2﹣1>0,x2﹣1<0,x2﹣1=0,进行分类讨论,利用m≤2时函数的取值,分别求出x的范围,求并集即可.对于含参数的不等式问题,有的时候转变思路化“参变量”为“自变量”往往会收到“柳暗花明又一村”的效果.

4数学各分支之间的,如利用向量方法解立体几何问题,用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等.

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图13)

在立体几何证明中,两类关系相当重要:

线线平行↔线面平行↔面面平行

线线垂直↔线面垂直↔面面垂直

5相等与不等之间的,如利用均值不等式、判别式等.

6实际问题与数学模型的.

常见的方法:

1直接法:把原问题直接为基本定理、基本公式或基本图形问题.

2换元法:运用“换元”把超越式为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题为易于解决的基本问题.

3数形结合法:研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换、获得途径.

4参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于.

5构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.

6坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题.

7类比法:运用类比推理,猜测问题的结论.

8特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式,并证明特殊化后的结论适合原问题.

9一般化方法:当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时,可将问题通过一般化的途径进行.

10等价问题法:把原问题为一个易于解决的等价命题,达到目的.

11加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即把命题的结论加强为原命题的充分条件,反而能将原命题为一个较易证明的命题,加强命题法是非等价方法.

12补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集及补集获得原问题的解决.

以上所列的一些方法是互相交叉的,不能截然分割.

学科,还包括四大数学思想,如利用均值不等式(图14)

分类讨论思想,函数方程思想,数形结合思想,与化归思想是同学们在学习路上不得不翻越的四座大山。

而小帆这里给大家介绍了这四种解题思想以及基本的技巧,但是具体怎么在题目中应用,还是交给我们专业的名师为大家讲解吧。相信同学们翻过这四座山之后,再结合熟练掌握的知识点,肯定不会让分数再从指尖溜走啦。

本文相关词条概念解析:

函数

函数(function),最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。

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